Question

（2011•安徽模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（　　）
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36．

A．③⑤

B．②④⑤

C．②③④

D．①②③⑤

Answer 1

分析：根据题意，归纳可得“三角形数”与“正方形数”的规律，进而可得两者之间的关系为n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

，据此依次验证5个表达式可得：对于①，13不是正方形数；对于②，9和16不是三角形数；对于③，是关系式中n=6的表达式，对于④，18和31不是三角形数；对于⑤，是关系式中n=8的表达式，即可得答案．

解答：解：根据题意，分析可得：“三角形数”的规律是1，3，6，10，…，

n(n+1)

2

，…；
“正方形数”的规律是4，9，16，…n²，…；
且正方形数是这串数中相邻两数之和，即n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

；
对于①，13=3+10，13不是正方形数；
对于②，9和16不是三角形数；
对于③，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=6，可得36=15+21；
对于④，18和31不是三角形数；
对于⑤，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=8，可得28+36=64；
只有③⑤是对的；
故选A．

点评：本题考查归纳推理，关键是根据题意，发现“三角形数”、“正方形数”的变化规律以及两者之间的联系．