Question

【题目】已知在梯形中， 平面，且，点在上，且.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接交于点，利用平几知识可得,再根据相似比得.最后根据线面平行判定定理得平面.（2）求二面角大小,一般利用空间向量数量积:先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组求各平面法向量,利用向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角关系求二面角.

试题解析：解： （Ⅰ）连接交于点，连接,如图①所示.

∵，∴.

∵,∴，

∴.

∵平面平面，

∴平面.

（Ⅱ）设∵且平面，故以为原点，过点与平行的直线为轴，

所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图②所示，则

.

由，得，得.

解得，即,

.

设是平面的一个法向量，则

令，则，即.

取的中点，记为，连接，

易求得的坐标为，

∴ .

由,得，

由底面，得，

又，∴平面.

∴是平面的一个法向量.

∴.

由图可知二面角为锐二面角，

∴二面角的余弦值为.