Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=3，a_na_n+1=（n∈N^*），则S₂₀₁₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=，得a_na_n-1=（）^n-1（n≥2）将两式相比，即得，
从而求得数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，故求数列{a_n}通项，然后利用分组求和法和等比数列的求和公式求出S₂₀₁₀即可．
解答：解：∵a₁=3，a_na_n+1=
∴令n=1可求出a₂=
∵a_na_n+1=（）ⁿ
∴a_na_n-1=（）^n-1（n≥2）；
两式相比，得，
∴数列{a_n}的奇数项成首项为3，公比为的等比数列，偶数项成首项为，公比为的等比数列
∴a_n=3×，n为奇数；a_n=×，n为偶数；
S₂₀₁₀=（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₉）+（a₂+a₄+a₆+…a₂₀₁₀）
=（3+3×+3×+…+3×）+（+×+×+…+×）
=（3+）（1+++…+）
=×
=
故答案为：
点评：本题主要考查了等比数列的求和，以及通项公式，同时考查了分类讨论的数学思想，以及分组求和法的应用，属于中档题．