Question

已知直线l₁：3x+4y-5=0与直线l₂：2x+y=0的交点为P．
（Ⅰ）直线m经过点P且倾斜角是直线x-

3

y=0的倾斜角的两倍，求m的方程；
（Ⅱ）直线l经过点P且在两坐标轴上的截距相等，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据斜率公式，算出直线x-

3

y=0的斜率，得到它的倾斜角为30°，所以直线m的斜率k'=tan60°=

3

，再联解l₁与l₂方程得到它们的交点为P（-1，2），利用点斜式方程列式，化简即得直线m的方程．
（II）当线l经过原点时，求得方程2x+y=0符合题意；当直线l不经过原点时，设方程为x+y+c=0，由P的坐标代入计算得c=-1，从而得出l方程为x+y-1=0，最后综合一下可得答案．

解答：解：（I）∵直线x-

3

y=0的斜率k=

3

3

，得它的倾斜角为30°，
∴直线m的倾斜角为60°，得它的斜率k'=tan60°=

3

，
联解

3x+4y-5=0 2x+y=0

，得x=-1且y=2，
所以直线l₁与直线l₂交点为P（-1，2）．
因此，直线m的方程为y-2=

3

（x+1），化简得

3

x-y+2+

3

=0．
（II）①当直线l经过原点时，符合题意，
此时直线l方程为y=-2x，即2x+y=0；
②当直线l不经过原点时，设方程为x+y+c=0，
将P（-1，2）代入，得-1+2+c=0，解之得c=-1，
此时直线l方程为x+y-1=0．
综上所述，直线l的方程为2x+y=0或x+y-1=0．

点评：本题给出经过两条直线交点的一条直线，在满足指定条件的情况下求直线的方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于中档题．