Question

有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？

（1）甲不在中间也不在两端；

（2）甲、乙两人必须排在两端；

（3）男、女生分别排在一起；

（4）男女相间；

（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.

Answer 1

思路分析:本例集排列组合多种类型于一题，应充分利用元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法、捆绑法、插空法、等机会法等常见的解题思路.

解:（1）方法一：元素分析法

先排甲有6种，其余有种.故共有6×=241 920种排法.

方法二：位置分析法

中间和两端有种排法，包括甲在内的其余6人有种排法，故共有·=336×720=241 920种排法.

方法三：等机会法

9个人的全排列有种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是×=241 920种.

方法四：间接法-3×=6=241 920种.

（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有=10 080种排法.

（3）捆绑法：=5 760种.

（4）插空法：先排4名男生有种方法，再将5名女生插空，有种方法，故共有·=5 760种.

（5）方法一：9人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有=60 480种排法.

方法二：=60 480种.

    深化升华 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素;

②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置;

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.