Question

已知点M（x₁，f（x₁））是函数f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把M的横坐标代入导函数中表示出切线方程的斜率，把M的横坐标代入f（x）得到切点的纵坐标，根据切点坐标和表示出的斜率写出切线的方程即可；
（2）根据（1）表示出的切线方程，令x=0求出切线与y轴的交点B的坐标，令y=0求出切线与x轴的交点A的坐标，然后利用勾股定理表示出线段AB的长度，设三角形AOB的周长m等于|OA|+|OB|+|AB|，然后设t=x₁+

1

x1

，根据x₁的范围求出t的范围，根据基本不等式求出t的最小值，进而求出此时x₁的值，代入m即可得到m的最小值，即为三角形周长的最小值．

解答：解：（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x 2 1

．
∴切线方程为y-

1

x1

=-

1

x 2 1

（x-x₁），即y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周长m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+( 2 x1 )2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x 2 1 + 1 x 2 1

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周长的最小值是2（2+

2

）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．