Question

已知点M（x₁，f（x₁））是函数f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．

Answer 1

（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x 21

．
∴切线方程为y-

1

x1

=-

1

x 21

（x-x₁），即y=-

1

x 21

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x 21

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周长m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+( 2 x1 )2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x 21 + 1 x 21

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周长的最小值是2（2+

2

）．