Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，知

1

an+1

=

4+ 1 an2

，由此知an2=

1

4n-3

，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由an=

1

4n-3

，知an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，由此能够证明S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

解答：解：（Ⅰ）-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，
∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4(n∈N+)，
∴数列{

1

an2

}是等差数列，首项

1

a12

公差d=4
∴

1

a12

=1+4(n-1)
∴an2=

1

4n-3

∵a_n＞0
∴an=

1

4n-3

(n∈N+)（4分）（6分）
（Ⅱ）证明：an=

1

4n-3

∴an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞

1

2

（

5

-1）+（

9

-

5

）+…+

1

2

（

4n+1

-

4n-3

）
=

1

2

4n+1

-1

点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．