Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

数列{a_n}的前n项和为S_n，点Pn( an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16a²-8n-3，设定b₁的值使得数{b_n}是等差数列；（Ⅲ）求证：S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，知

1

an+1

=

4+ 1 an2

，由此知 an2=

1

4n-3

，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（I）中求出的数列的通项公式代入

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3中，化简后得到

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1，设

Tn

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1，得到{c_n}是等差数列．求出{c_n}的通项公式，
代入即可求得T_n的通项公式，然后利用b_n=T_n-T_n-1即可得到数列{b_n}的通项公式．
（III）由 an=

1

4n-3

，知 an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，由此能够证明S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

解答：解：（Ⅰ）-

1

an+1

=f(an) =-

4+ 1 an2

，且a_n＞0，
∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=4(n∈N+)，
∴数列{

1

an2

}是等差数列，首项

1

a12

公差d=4
∴

1

a12

=1+4(n-1)
∴an2=

1

4n-3

∵a_n＞0
∴an=

1

4n-3

(n∈N+)（4分）（6分）
（Ⅱ）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1．
设

Tn

4n-3

=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．
∴{c_n}是等差数列．
∴c_n=c₁+n-1=

T1

1

+n-1=b₁+n-1=n．
∴

Tn

4n-3

=T 1+n -1，若{b_n}为等差数列，则T₁=1，即b=1，
即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．
∴当n=1时，b_n=T₁=1；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴b_n=8n-7（n∈N^*）．
（III）证明：an=

1

4n-3

∴an=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＞

1

2

（

5

-1）+（

9

-

5

）+…+

1

2

（

4n+1

-

4n-3

）
=

1

2

4n+1

-1

点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，会确定一个数列为等差数列，是一道综合题．解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．