Question

【题目】已知点是椭圆的右焦点，点，分别是轴，轴上的动点，且满足.若点满足（为坐标原点）．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设过点任作一直线与点的轨迹交于，两点，直线，与直线分别交于点，，试判断以线段为直径的圆是否经过点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）经过

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的方程，得到右焦点 的坐标，根据向量的数量积的运算公式，求得和，代入即可求解抛物线的标准方程；

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，得到，，联立方程组，求得，利用向量的数量积的运算，即可得到证明；

解法二：①当时，利用向量的数量积得到；②当不垂直轴时，设直线的方程为，联立方程组，求解，进而证得，即可得到证明.

（Ⅰ）∵椭圆右焦点的坐标为，

∴.∵，

∴由，得.

设点的坐标为，由，有，

，代入，得.

即点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，，，

则：，：.

由得，同理得.

∴，，则.

由得，∴.

则.

因此，以线段为直径的圆经过点.

解法二：①当时，，，则：，：.

由，得点的坐标为，则，

由，得点的坐标为，则.

∴.

②当不垂直轴时，设直线的方程为，，，

同解法一，得.

由，得，∴.

则.

因此，以线段为直径的圆经过点.