Question

（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnxx∈[1，e]．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若方程f(x)=-

1

2

有两个不等实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），易判断x∈[1，e]时f′（x）的符号，从而得到函数f（x）的单调性，根据单调性即可求得函数的最大值；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，问题转化为求函数的最大值，当a≥0时，由单调性易求最大值；当a＜0时，利用导数可求得极值点-

1

a

，再按照极值点在区间[1，e]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论，由单调性可求得最大值，令最大值小于等于0可求得a的范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a≤-1或a≥-

1

e

时，f（x）在[1，e]上单调不合题意；当-1＜a＜-

1

e

时，借助图象可知函数最大值、端点处函数值与-

1

2

的大小关系，解不等式组即可；

解答：解：（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)=1+

1

x

=

x+1

x

，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_max=f（e）=e+1；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，令f′（x）=0，x=-

1

a

，
当x＜-

1

a

时，f′（x）＞0，当x＞-

1

a

时，f′（x）＜0，
①当-

1

a

≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当-

1

a

≥e时，即-

1

e

≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max=f(e)=ae+1≤0，a≤-

1

e

，∴a=-

1

e

；
③当1＜-

1

a

＜e时，即-1＜a＜-

1

e

时，f（x）在[1，-

1

a

]上单增，f（x）在[-

1

a

，e]上单减，
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，
∵1＜-

1

a

＜e，∴0＜ln(-

1

a

)＜1，∴f(-

1

a

)＜0成立；
由①②③可得a≤-

1

e

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a≤-1或a≥-

1

e

时，f（x）在[1，e]上单调，不满足题意；
当-1＜a＜-

1

e

时，fmax(x)=f(-

1

a

)=-1+ln（-

1

a

）=-1-ln（-a），
所以

f(- 1 a )＞- 1 2 f(1)≤- 1 2 f(e)≤- 1 2

，即

-1-ln(-a)＞- 1 2 a≤- 1 2 ae+1≤- 1 2

，解得-e-

1

2

＜a＜-

3

2e

，
所以a的取值范围为（-e-

1

2

，-

3

2e

）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题、方程解的个数问题，考查分类讨论思想、数形结合思想．