题目内容

设A={x|x=kπ+ $数学公式$ ，k∈Z }，已知 $数学公式$ =（ 2cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，3sin $数学公式$ ），
（1）若α+β= $数学公式$ ，且 $数学公式$ =2 $数学公式$ ，求α，β的值．
（2）若 $数学公式$ = $数学公式$ ，其中 α，β∈A，求tanαtanβ的值．

解：（1）∵α+β= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（1，sin（ $\text{[math]}$ ））， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，3sin（ $\text{[math]}$ ）），（4分）
由 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，，得sin（ $\text{[math]}$ ）=0，
∴α=kπ+ $\text{[math]}$ ，β=-kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z．（3分）
（2）∵ $\text{[math]}$ =2cos² $\text{[math]}$ +3sin² $\text{[math]}$
=1+cos（α+β）+3× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +cos（α+β）- $\text{[math]}$ cos（α-β）= $\text{[math]}$ ，（3分）
∴cos（α+β）= $\text{[math]}$ cos（α-β），
展开得2cosα•cosβ-2sinα•sinβ=3cosα•cosβ+3sinα•sinβ
即-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，
∵α，β∈A，
∴tanα•tanβ=- $\text{[math]}$ ．（4分）
分析：（1）由α+β= $\text{[math]}$ ，我们易将向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 化为 $\text{[math]}$ =（1，sin（ $\text{[math]}$ ））， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，3sin（ $\text{[math]}$ ））的形式，结合 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，我们构造三角方程，解方程即可求出满足条件的α，β的值．
（2）由已知中 $\text{[math]}$ =（ 2cos $\text{[math]}$ ，sin $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，3sin $\text{[math]}$ ），及 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，我们易构造一个关于α，β的关系式，结合两角和与差的余弦公式，我们易求出
-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，进而得到答案．
点评：本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系，向量加法及其几何意义，平面向量数量积的运算，熟练掌握三角函数公式及向量数量积的定义，是解答本题的关键．