Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）点M在线段PC上，满足，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MQB与平面CQB所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据底面ABCD为菱形，∠BAD=60°且Q为AD的中点，连结AC交BQ于一点N，可解得AN=，从而推测当时，PA∥平面MQB；
（2）由已知可得到QA，QB，QP两两互相垂直，所以以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用平面法向量求平面MQB与平面CQB所成角的大小．
解答：解：（1）当时，PA∥平面MQB
下面证明，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N
由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，所以．
PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN，，即：，
所以时，满足题意；
（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，
则各点坐标为A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）．
．
设平面MQB的法向量为，可得
，∵PA∥MN，∴，
即，取z=1，得，所以 ，
取平面ABCD的法向量，
∴．
故平面MQB与平面CQB所成角的大小为60°．
点评：本题考查了共线向量基本定理，考查了直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求二面角的大小，解答的关键是建立正确的空间右手系，随机中档题．