Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，数列{b_n}满足：an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

，（n∈N^•），
（1）求数列{a_n}的通项公式和数列{b_n}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N⁺时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．由an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1），知an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2），所以(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2），由此能够得到b_n．
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ．假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ．再由n的奇偶性进行分类讨论知存在实数λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）．

解答：解：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列
∴a_n=2n
∵an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1）①
∴an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
当n=1时，a1=

b1

3

∴b₁=6满足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
当n为正偶函数时，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立λ＞（-

3n

3•2n+2

）max=（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max
当n=2时（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max=-

9

14

∴λ＞-

9

14

当n为正奇数时，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴λ＜（

3n

3•2n+2

）min=（

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）min
当n=1时[

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

]min=

3

8

∴λ＜

3

8

综上，存在实数λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）（16分）

点评：本题主要考查了不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．