Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}通项a_n
（2）数列的前n项和为S_n，若3（1-ka_n）≤S_n•a_n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=2ⁿ，得a_na_n-1=2^n-1，两式相比，即得

an+1

an-1

=2，从而求得数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，故求数列{a_n}通项；
（2）分别求得S_n=2

n+3

2

-3，n为奇数；S_n=3（2

n

2

-1），n为偶数；再利用分离参数法，考查相应函数的单调性，求出相应的最值，从而求出参数的范围．

解答：解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ∴a_na_n-1=2^n-1，两式相比，∴

an+1

an-1

=2，∴数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列
∴a_n=2

n-1

2

，n为奇数；a_n=2

n

2

，n为偶数；
（2）S_n=2

n+3

2

-3，n为奇数；S_n=3（2

n

2

-1），n为偶数；
当n为奇数时，，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤（2

n+3

2

-3）a_n，
∴k≥

3-(2 n+3 2 -3)an

3an

∴K≥

1

an

-（

1

3

•2

n+3

2

-1）=

1

2 n-1 2

-

1

3

•2

n+3

2

+1
F（n）=

1

2 n-1 2

-

1

3

•2

n+3

2

+1单调递减；F（1）=

2

3

最大；K≥

2

3

当n为偶数时，3（1-ka_n）≤S_n•a_n
3（1-ka_n）≤3（2

n

2

-1）a_n∴k≥

1-(2 n 2 -1)an

an

=

1

2 n 2

-2

n

2

+1
F（n）=

1

2 n 2

-2

n

2

+1单调递减，所以n=2时F（2）=-0.5
K≥-0.5
综合上面可得k≥

2

3

点评：本题考查恒成立问题的出来方法，体现了分类讨论的思想方法，属中档题