Question

给出下面的数表序列：

表1	表2	表3	…
1	1   3	1   3   5
	4	4   8
		12

其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b_n}，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用给出的规律即可得出表4，进而得到每一行的平均数，即可判断出是否出等比数列，并按其规律进行推广．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为．利用“错位相减法”即可得出数列{b_n}的前n项和．
解答：解：（1）表4为
1    3    5    7
4    8   12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n（n≥3），
表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是．
即表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为．
设S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1  ①
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ  ②
由①-②得，，
整理，得．
点评：正确理解题意和熟练掌握等比数列的定义及其前n项和公式、“错位相减法”、平均数的计算公式等是解题的关键．