题目内容
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{bn}，求数列{bn}的前n项和．
| 表1 | 表2 | 表3 | … |
| 1 | 1 3 | 1 3 5 | |
| 4 | 4 8 | ||
| 12 |
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{bn}，求数列{bn}的前n项和．
分析：（1）利用给出的规律即可得出表4，进而得到每一行的平均数，即可判断出是否出等比数列，并按其规律进行推广．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1．利用“错位相减法”即可得出数列{bn}的前n项和．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1．利用“错位相减法”即可得出数列{bn}的前n项和．
解答：解：（1）表4为
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n（n≥3），
表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是
=n．
即表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1．
设Sn=b1+b2+…+bn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1 ①
2Sn=1×21+2×22+3×23…+（n-1）•2n-1+n•2n ②
由①-②得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n，
整理，得Sn=(n-1)•2n+1．
1 3 5 7
4 8 12
12 20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n（n≥3），
表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是
| 1+3+5+…+(2n-1) |
| n |
即表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n•2n-1．
设Sn=b1+b2+…+bn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1 ①
2Sn=1×21+2×22+3×23…+（n-1）•2n-1+n•2n ②
由①-②得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n，
整理，得Sn=(n-1)•2n+1．
点评：正确理解题意和熟练掌握等比数列的定义及其前n项和公式、“错位相减法”、平均数的计算公式等是解题的关键．
练习册系列答案
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给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）．
的数表序列：
）有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为
，例如
，
，
.则
. 
的通项