Question

函数f（x）定义域为（a，b），则“f′（x）＞0在（a，b）上恒成立”是“f（x）在（a，b）上为增函数”的

1. A.
   充要条件
2. B.
   充分不必要条件
3. C.
   必要不充分条件
4. D.
   既不充分也不必要条件

Answer 1

B
分析：由函数和导数的关系可知，前可推后，而后可推得“f′（x）≥0在（a，b）上恒成立，且不是恒等于0即可”，即后不能推前，由充要条件的定义可得答案．
解答：由函数和导数的关系可得，由“f′（x）＞0在（a，b）上恒成立”能推得“f（x）在（a，b）上为增函数”；
但由“f（x）在（a，b）上为增函数”可推出“f′（x）≥0在（a，b）上恒成立，且不是恒等于0即可”，
故由“f（x）在（a，b）上为增函数”不能推出“f′（x）＞0在（a，b）上恒成立”．
故“f′（x）＞0在（a，b）上恒成立”是“f（x）在（a，b）上为增函数”的充分不必要条件．
故选B
点评：本题考查充要条件的判断，涉及函数的单调性与导数的关系，属基础题．