Question

已知函数f（x）=，g（x）=（1-a）e^x
（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）=，知f′（x）=，再曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，能求出a的值．
（II）由F（x）=f（x）-g（x）=-（1-a）e^x，知F′（x）=-（1-a）e^x=（1-a）[-e^x]，由0＜a＜1，x∈（0，1]，推导出F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是减函数，由此能求出函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．
解答：解：（I）∵f（x）=，
∴f′（x）=，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，
∴，解得a=-．
（II）∵f（x）=，g（x）=（1-a）e^x，
∴F（x）=f（x）-g（x）=-（1-a）e^x，
∴F′（x）=-（1-a）e^x=（1-a）[-e^x]，
∵0＜a＜1，x∈（0，1]，
∴1-a＞0，-e^x＜0，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是减函数，
∵F（0）=a-1+a=2a-1，
F（1）=-（1-a）e，
∴函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域为[-（1-a）e，2a-1）．
点评：本题考查导数的几何意义的应用，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．