Question

17．已知函数f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）求函数的周期；
（2）设θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且f（θ）=$\sqrt{3}$-1，求cosθ的值；
（3）在△ABC中，AB=1，f（C）=$\sqrt{3}$+1，且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角函数的关系式，进行恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用关系式求出函数的周期．
（2）根据（1）的函数关系式，进一步利用定义域求出函数的余弦值．
（3）利用（1）的关系式，首先求出C的值，进一步利用解三角形知识，用正弦定理，余弦定理及三角形的面积的公式求出结果．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）．
=$\sqrt{3}$（cosx+1）-sinx
=$\sqrt{3}cosx-sinx+\sqrt{3}$
=$2cos（x+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$
所以函数的周期为：$T=\frac{2π}{1}=2π$，
（2）由（1）得：f（x）=$2cos（x+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$
由于θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
所以：$-\frac{π}{3}≤θ+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
且f（θ）=$\sqrt{3}$-1，
所以：$2cos（θ+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$，
整理得：$2cos（θ+\frac{π}{6}）=-1$，
解得：$θ+\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}$
所以：$θ=\frac{π}{2}$，
$cosθ=cos\frac{π}{2}=0$．
（3）在△ABC中，f（C）=$\sqrt{3}$+1，
所以：$2cos（C+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$
整理得：$cos（C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$
由于：$\frac{π}{6}＜C+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$
解得：$C=\frac{π}{6}$．
由于：AB=1
利用正弦定理：$\frac{AB}{sinC}=2R$
解得：R=1．
且△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：ab=2$\sqrt{3}$
利用余弦定理：1=a²+b²-2abcosC
整理得：$（a+{b）}^{2}=7+4\sqrt{3}$，
解得：a+b=2+$\sqrt{3}$，
所以：sinA+sinB=$\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}=\frac{a+b}{2R}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用余弦型函数的关系式求函数的周期，利用函数的定义域求函数的值，解三角形正弦定理，余弦定理及三角形的面积的应用．