Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}的前以项和为S_n，若S₃=18，且a₁+1，a₂，a₃成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

3n+1

(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式、求和公式，结合等比数列的性质可得

3a1+3d=18 (a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)

，解可求d，a₁，代入等差数列的通项公式即可
（2）由（1）可得bn=

an

3n+1

=

3n

3n+1

=

n

3n

，利用错位相减法可求

解答：解：（1）∵S₃=18，a₁+1，a₂，a₃成等比数列
∴a22=(a1+1)a3
∴

3a1+3d=18 (a1+d)2=(1+a1)(a1+2d)

解可得，d=3或d=-2（舍去），a₁=3
∴a_n=3+3（n-1）=3n
（2）∵bn=

an

3n+1

=

3n

3n+1

=

n

3n

∴T_n=1•

1

3

+2•

1

32

+…+n•

1

3n

1

3

Tn=1•

1

32

+2•

1

33

+…+

n-1

3n

+

n

3n+1

两式相减可得，

2

3

Tn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

∴Tn=

3-3n-1

4

-

n

2•3n

点评：本题主要考查了等差数列的求和公式，通项公式的简单应用，数列求和的错位相减求和方法的应用是求解本题的关键