Question

已知数列满足,且对一切有,其中, 

(Ⅰ)求证对一切有，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和;

（Ⅲ）求证. 

Answer 1

（Ⅰ）{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n；

（Ⅱ）；（Ⅲ）同解析。

解析:

(Ⅰ)由ni=1=S_n²，    (1)         由n＋1i=1=S_n＋1²，       (2)

(2)－(1)，得=(S_n+1+S_n)(S_n+1－S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1．

∵ a_n+1 >0，∴a_n＋1²－=2S_n．           

由a_n＋1²－=2S_n，及a_n²－a_n =2S_n－1 (n≥2)，

两式相减，得(a_n+1+ a_n)( a_n+1－a_n)= a_n+1+ a_n．

∵a_n+1+ a_n >0，∴a_n+1－a_n =1(n≥2)        

当n=1,2时，易得a₁=1，a₂=2，∴a_n+1 － a_n =1(n≥1)．

∴{ a_n}成等差数列，首项a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

（Ⅱ）由，得。所以，

当时，；

当时，

，

即

（Ⅲ）nk=1=nk=1＜1＋nk=2 

＜１＋nk=2=

=1＋ nk=2 (－)       

=1＋1＋－－＜2＋＜3.