Question

14．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间的有如下的相应数据：

广告费用x	1	2	3	4	5
销售额y	20	30	40	50	50

（1）求产品销额y对广告费用x的回归直线方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$
（2）据此估计广告费用为6万元时的销售收入y（万元）的值．
（参考公式中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{{x}^{2}}-{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，其中$\overline{x}，\overline{y}$表示的样本平均值）

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据，写出利用最小二乘法要用的量的结果，把所求的这些结果代入公式求出线性回归方程的系数，进而求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，把x=6的值代入方程，估计出对应的y的值．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{1}{5}（1+2+3+4+5）=3$，
$\overline y=\frac{1}{5}（20+30+40+50+60）=40$．（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}={1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，
$\sum _{i=1}^{5}$x_iy_i=700．（4分）
∴$\hat{b}$=$\frac{\sum _{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{700-5×3×40}{55-5×3×3}$=10，
$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat{b}$$\overline{x}$=40-10×3=10．（6分）
∴回归直线方程为$\hat{y}=10x+10$．（8分）
（2）x=6时，$\hat{y}=10×6+10=70$．（10分）
所以据此模型预报广告费用为6万元时销售额为70万元．    （12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是求出最小二乘法所要用到的量，数字的运算不要出错．