Question

（1）已知x＞0，y＞0，且

1

x

+

9

y

=1，求x+y的最小值；
（2）已知x＜

5

4

，求函数y=4x-2+

1

4x-5

的最大值；
（3）若x，y∈（0，+∞）且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值；
（4）若-4＜x＜1，求

x2-2x+2

2x-2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用

1

x

+

9

y

=1与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可．
（2）由x＜

5

4

，可得4x-5＜0，首先应调整符号，再变形处理，即配凑积为定值．
（3）由2x+8y-xy=0变形可得

2

y

+

8

x

=1，与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可．
（4）先利用配方法和拆项法将原式变形，

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

•

(x-1)2+1

x-1

=

1

2

[(x-1)+

1

x-1

]，再调整符号，利用均值不等式求解．

解答：解：（1）∵x＞0，y＞0，

1

x

+

9

y

=1，∴x+y=（x+y）(

1

x

+

9

y

)=

y

x

+

9x

y

+10≥6+10=16．
当且仅当

y

x

=

9x

y

时，上式等号成立，又

1

x

+

9

y

=1，∴x=4，y=12时，（x+y）_min=16．
（2）∵x＜

5

4

，∴5-4x＞0，∴y=4x-2+

1

4x-5

=-(5-4x+

1

5-4x

)+3≤-2+3=1，
当且仅当5-4x=

1

5-4x

，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y_max=1．
（3）由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，∴

2

y

+

8

x

=1，
∴x+y=（x+y）(

8

x

+

2

y

)=10+

8y

x

+

2x

y

=10+2(

4y

x

+

x

y

)≥10+2×2×

4y x • x y

=18，
当且仅当

4y

x

=

x

y

，即x=2y时取等号，
又2x+8y-xy=0，∴x=12，y=6，
∴当x=12，y=6时，x+y取最小值18．
（4）

x2-2x+2

2x-2

=

1

2

•

(x-1)2+1

x-1

=

1

2

[(x-1)+

1

x-1

]
=-

1

2

[-(x-1)+

1

-(x-1)

]
∵-4＜x＜1，∴-（x-1）＞0，

1

-(x-1)

＞0．
从而[-(x-1)+

1

-(x-1)

]≥2
-

1

2

[-(x-1)+

1

-(x-1)

]≤-1
当且仅当-（x-1）=

1

-(x-1)

，
即x=2（舍）或x=0时取等号．
即(

x2-2x+2

2x-2

)max=-1．

点评：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．