Question

（2009•荆州模拟）如图，在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2

2

，以CD边所在直线为y轴，线段CD的中点O为原点建立直角坐标系，直线AB上的动点E、F满足|AE|²+|BF|²=|AB|²．
（1）设直线CF、DE的交点为P，求点P的轨迹方程；
（2）过点Q（

5

，0）的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，若|MN|=2，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意得到A，B，C，D点的坐标，设出E，F，P的坐标，分别由C、F、P三点共线，D、E、P三点共线列式得到E、F的坐标与P的坐标的关系，再由|AE|²+|BF|²=|AB|²列式化简得到点P的轨迹方程；
（2）根据（1）中求出的曲线方程可知Q为其右焦点，分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时由弦长公式列式求斜率，从而求出直线l的方程．

解答：解：（1）由题意可知，A（2

2

，-1）、B（2

2

，1）、C（0，1）、D（0，-1）．
设E（2

2

，y1）、F（2

2

，y2）、P（x，y）（x＞0）．
∵C、F、P三点共线，所以

y-1

x

=

y2-1

2 2

，得y2-1=

2 2 (y-1)

x

．
同理，由D、E、P三点共线得y1+1=

2 2 (y-1)

x

．
由|AE|²+|BF|²=|AB|²得：
(y1+1)2+(y2-1)2=22．
即[

2 2 (y+1)

x

]2+[

2 2 (y-1)

x

]2=4．
化简得P的轨迹方程为

x2

4

-y2=1  （x＞0）；
（2）由（1）可知，点P的轨迹是双曲线

x2

4

-y2=1的右支，点Q即为其焦点，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若l⊥x轴，易得|MN|=1，不符合题意．
设直线MN的方程为y=k（x-

5

），则

y=k(x- 5 ) x2 4 -y2=1

，整理得(1-4k2)x2+8

5

k2x-20k2-4=0．
∴

1-4k2≠0 (8 5 k)2-4(1-4k2)(-20k2-4)＞0 x1+x2= 8 5 k2 4k2-1 ＞0 x1x2= 20k2+4 4k2-1 ＞0

，解得k2＞

1

4

．
又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

( -8 5 k2 1-4k2 )2-4• 20k2+4 4k2-1

=

4 1+k2

|4k2-1|

•

1+k2

=2．
∴

4k2+4

4k2-1

=2，∴k2=

3

2

，k=±

6

2

．
∴所求直线l的方程为y=±

6

2

(x-

5

)．
即y=

6

2

x-

30

2

或y=-

6

2

x+

30

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，属压轴题．