Question

已知函数f（x）=ln（2x+1）+e^3x（4x²+2x+6），
（1）求

lim

x→0

f(x)-6

x

的值；
（2）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ln（2x+1）+e^3x（4x²+2x+6），可得f（0）=6，f′(x)=

2

2x+1

+3e^3x（4x²+2x+6）+e^3x（8x+2），而

lim

x→0

f(x)-6

x

=

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=f′（0）代入可求
（2）由导数的几何意义可知曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0），从而可求切线方程

解答：解：（1）f（x）=ln（2x+1）+e^3x（4x²+2x+6），
∴f（0）=6，f′(x)=

2

2x+1

+3e^3x（4x²+2x+6）+e^3x（8x+2）
∴

lim

x→0

f(x)-6

x

=

lim

x→0

f(x)-f(0)

x-0

=f′（0）=22
（2）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=22
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-6=22x即22x-y+6=0

点评：本题主要考查了导数的定义的应用，导数的几何意义：导数在某点的切线的斜率即为改点的导数值的应用，属于基本概念的简单应用．