题目内容
已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足
=
．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使
=
(
+
)（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．
| DQ |
| 2 |
| 3 |
| DP |
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使
| OE |
| 1 |
| 2 |
| OM |
| ON |
（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）（1分）
∴
=(x-x0，y)，
=(0，y0)（2分）
又
=
∴
即
（4分）
∵P在⊙O上，故x02+y02=9∴
+
=1（5分）
∴点Q的轨迹方程为
+
=1（6分）
（2）假设椭圆
+
=1上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足
=
(
+
)，则E（1，1）是线段MN的中点，且有
即
又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆
+
=1上
∴
两式相减，得
+
=0（12分）
∴kMN=
=-
∴直线MN的方程为4x+9y-13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足
=
(
+
)，此时直线MN的方程为4x+9y-13=0（14分）
∴
| DQ |
| DP |
又
| DQ |
| 2 |
| 3 |
| DP |
|
|
∵P在⊙O上，故x02+y02=9∴
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
∴点Q的轨迹方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）假设椭圆
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
| OE |
| 1 |
| 2 |
| OM |
| ON |
|
|
又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
∴
|
两式相减，得
| (x1-x2)(x1+x2) |
| 9 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| 4 |
∴kMN=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 4 |
| 9 |
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：52x2-104x-155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足
| OE |
| 1 |
| 2 |
| OM |
| ON |
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（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．
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