Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d．
（1）求证：S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列；
（2）在等差数列{a_n}中，S₁₀=100，S₁₀₀=10，求S₁₁₀．

Answer 1

分析 （1）写出等差数列的前n项、前2n项、前3n项的和，然后利用等差中项的概念证明S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列；
（2）利用（1）中的结论，求出S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀，…的公差为d，再由等差数列的通项公式列式求得
S₁₁₀．

解答 （1）证明：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，
∴${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，${S}_{2n}=2n{a}_{1}+\frac{2n（2n-1）d}{2}$，${S}_{3n}=3n{a}_{1}+\frac{3n（3n-1）d}{2}$．
由$2（{S}_{2n}-{S}_{n}）=2[2n{a}_{1}+\frac{4{n}^{2}d-2nd}{2}-n{a}_{1}-\frac{{n}^{2}d-nd}{2}]$=$2n{a}_{1}+3{n}^{2}d-nd$．
S_n+S_3n-S_2n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}+3n{a}_{1}+\frac{3n（3n-1）d}{2}-2n{a}_{1}$$-\frac{2n（2n-1）d}{2}$=$2n{a}_{1}+3{n}^{2}d-nd$．
得S_n+S_3n-S_2n=2（S_2n-S_n），
∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列；
（2）解：在等差数列{a_n}中，由S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，…成等差数列，
且S₁₀=100，S₁₀₀=10，设S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀，…的公差为d，
则S₁₀₀=10=10S₁₀+$\frac{10×9}{2}d$=10×100+45d，解得：d=-22．
∴S₁₁₀-S₁₀₀=S₁₀+（11-1）×（-22）=100-220=-120．
则S₁₁₀=10-120=-110．

点评 本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的性质，通过解答该题，学生最好能熟记结论：在等差数列
{a_n}中，若S_m=n，S_n=m，则S_m+n=-（m+n），该题是中档题．