Question

设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当

（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；

（2）求证：f（x）在R上递减。

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，

令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.

∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1…………………2分

设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，

∴f（x）=＞1……………………….6分

（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0，∴0＜f（x₂－x₁）＜1………………….8分

令m=x₁，m+n=x₂，则n=x₂－x₁，代入条件式，得f（x₂）=f（x₁）·f（x₂－x₁），…10分

即0＜＜1.∴f（x₂）＜f（x₁）……………….12分

∴f（x）在R上单调递减………………….14分