Question

函数y=-x³+（2a-4）x²+bx是奇函数，且在（-∞，-3a]上是减函数，则b的取范围是

1. A.
   （-∞，-108]
2. B.
   （-∞，108]
3. C.
   [108，+∞）
4. D.
   [-108，+∞）

Answer 1

A
分析：根据奇函数的定义，算出a=2得解析式为y=-x³+bx，求导数得y'=-3x²+b．从而得到函数在（-∞，-6]上是减函数，问题转化为y'≤0在区间（-∞，-6]恒成立，由此建立关于b的不等式，即可求出b的范围．
解答：∵函数y=-x³+（2a-4）x²+bx是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即x³+（2a-4）x²-bx=x³-（2a-4）x²-bx
由此可得（2a-4）x²=-（2a-4）x²，得a=2
函数解析式为y=-x³+bx，求导数得y'=-3x²+b
∵函数在（-∞，-3a]上是减函数，即在（-∞，-6]上是减函数
∴在区间（-∞，-6]上y'≤0恒成立，
即-3x²+b≤0在区间（-∞，-6]上恒成立，可得b≤（-3x²）_min，
∵当x=-6时，-3x²有最小值为-108，
∴b≤-108，即b的取范围是（-∞，-108]
故选：A
点评：本题给出含有字母的三次多项式函数，在已知函数的奇偶和单调区间情况下求参数取值范围．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．