Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a²-3a-4在[0，5]上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=|2x+1|-|x-1|，知f（x）=

-x-5，(x＜- 1 2 ) 3x-3，(- 1 2 ≤ x≤4) x+5，(x＞4)

，由此能够画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域．
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=3x-3，f（x）_max=f（4）=12-3=9．当x∈（4，5]时，f（x）=x+5，f（x）_max=f（5）=5+5=10．故当x∈[0，5]时，f（x）_max=10，所以a²-3a-4≤10，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-1|，
∴f（x）=

-x-5，(x＜- 1 2 ) 3x-3，(- 1 2 ≤ x≤4) x+5，(x＞4)

，
其图象如图所示．
如图可知f（x）_min=f（-0.5）=-（-0.5）-5=-

9

2

．
f（x）_max=+∞，
f（x）的值域是：[-

9

2

，+∞）．
（2）当x∈[0，4]时，f（x）=3x-3是增函数，
∴f（x）_max=f（4）=12-3=9，
当x∈（4，5]时，f（x）=x+5是增函数，
∴f（x）_max=f（5）=5+5=10，
∴当x∈[0，5]时，f（x）_max=10，
∵关于x的不等式f（x）≥a²-3a-4在[0，5]上恒成立，
∴a²-3a-4≤10，
∴

3- 15

2

≤a≤

3+ 15

2

．
故a的取值范围是[

3- 15

2

，

3+ 15

2

]．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．