Question

10．过抛物线y²=4x的焦点F作圆C：x²+y²-8x+m=0的切线，切点为M、N，且|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（1）求实数m的值：
（2）若m＞12，直线l经过点F，与抛物线交于点A、B，是否存在直线l，使AB为直径的圆与圆C外切，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明则由．

Answer 1

分析 （1）利用等面积，可得$\sqrt{（16-m）（m-7）}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$，即可求实数m的值：
（2）以AB为直径的圆与圆C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，可得x₀+2=$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①，分类讨论，利用斜率相等，可得${{y}_{0}}^{2}$=2（x₀-1）②，即可得出结论．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的焦点F（1，0），圆的圆心为（4，0），圆的半径为$\sqrt{16-m}$，则
利用等面积，可得$\sqrt{（16-m）（m-7）}$=$\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{2}}{3}$，∴m=8或15；
（2）若m＞12，则m=15，圆C：（x-4）²+y²=1，半径为1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点坐标为（x₀，y₀）
由抛物线定义可知$\frac{|AB|}{2}$=x₀+1，∴以AB为直径的圆与圆C外切有$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，
∴x₀+2=$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$①
当AB斜率不存在时，Q与F重合，x₀=1，此时$\frac{|AB|}{2}$+1=|QC|，符合题意；
当AB斜率存在时，x₀≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，可得k_AB=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∵k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∴$\frac{2}{{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
∴${{y}_{0}}^{2}$=2（x₀-1）②，
联立①②，解得x₀=1（矛盾），
综上所述，存在直线AB：x=1，符合条件．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．