Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sin（2x+$\frac{π}{6}$）cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinxsin（2x+$\frac{π}{6}$），2cosx），定义函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）函数的值域；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（3）画出函数g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的图象，由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的定义先求出函数f（x）的解析式，即可求出当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，f（x）函数的值域；
（2）根据三角函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（3）求出g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的表达式，利用三角函数的性质即可写出g（x）的对称轴和对称中心．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（2sinx，sin（2x+$\frac{π}{6}$）cosx）•（sinxsin（2x+$\frac{π}{6}$），2cosx）
=2sin²xsin（2x+$\frac{π}{6}$）+2cos²xsin（2x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x∈[-$\frac{π}{2}$，π]，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[2sin（-$\frac{π}{3}$），2sin$\frac{π}{2}$]，
即2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
即f（x）函数的值域是[-$\sqrt{3}$，2]；
（2）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z；
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函数的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）g（x）=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]，
则对应的图象为：
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，即函数的对称轴为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，即函数的对称中心为（$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．

点评 本题主要考查函数解析式的化简和求解，以及三角函数性质的考查，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．