Question

已知函数f（x）=x⁴+ax²+b的图象在点（1，f（1））处与直线y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2?1+a+b-2?a+b=-3，
f'（x）=4x³+2ax，f'（1）=-4?2a+4=-4
∴a=-4，b=1．
（Ⅱ）f（x）=x⁴-4x²+1?f'（x）=4x³-8x=4x（x²-2），f'（x）=0的根为0，±

2

．
在（-∞，-

2

）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（-

2

，0）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（0，

2

）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（

2

，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故函数f（x）的单调递增区间为（-

2

，0）、（

2

+∞）；单调递减区间为（-∞，-

2

）、（0，

2

）．
（Ⅲ）f（-

2

）=f（

2

）=-3，f（0）=1，由f（x）=x⁴-4x²+1=1得，x=0，x=±2，
∴当0＜m＜

2

时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m⁴-4m²+1；
当

2

≤m≤2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（

2

）=-3．
当m＞2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m⁴-4m²+1，最小值是f（

2

）=-3．