Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V—ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°.设AC=2a,BC=a.

(Ⅰ)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

(Ⅱ)求点A到平面VBC的距离；

(Ⅲ)求二面角A—VB—C的大小.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC.

∵BC⊥AC，

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

    又∵平面AB₁C⊥平面ABC，

    平面AB₁C∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面AB₁C，∴BC⊥AB₁.

∴B₁C₁⊥AB₁，又A₁C₁∩B₁C₁=C₁，

B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线.

(Ⅱ)解法1：过A作AD⊥B₁C于D，

∵△AB₁C为正三角形，

∴D为B₁C的中点.

∵BC⊥平面AB₁C

∴BC⊥AD，又B₁C∩BC=C，

∴AD⊥平面VBC，

∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.

    在正△AB₁C中，AD=·AC=×2a=a.

∴点A到平面VBC的距离为a.

解法2：取AC中点O连结B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.

    由(Ⅰ)知BC⊥B₁C.设A到平面VBC的距离为x,

∴=，

    即×BC·AC·B₁O=×BC·B₁C·x,

    解得x=a.

    即A到平面VBC的距离为a.

(Ⅲ)过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三垂线定理知AH⊥VB

∴∠AHD是二面角A—VB—C的平面角.

    在Rt△AHD中AD=a，△B₁DH∽△B₁BC，，

∴DH==a,

∴tan∠AHD=.

∴∠AHD=arctan.

    所以，二面角A—VB—C的大小为arctan15.

解法二：

    取AC中点O连B₁O，易知OB₁⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.

    取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

    则A(0,-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).

(Ⅰ)∵=(-a,0,0),=(0,a,a),∴·=(-a,0,0)·(0,a,a)=0,

∴⊥.

∴BC⊥AB₁.

    又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁⊥AB₁

    由已知BC⊥AC，AC∥A₁C₁.

∴BC⊥A₁C₁.

    而BC∥B₁C₁，

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

    又B₁C₁与AB₁，A₁C₁显然相交，

∴B₁C₁是AB₁与A₁C₁的公垂线.

(Ⅱ)设平面VBC的一个法向量n=(x,y,z),

    又=(0,-a,a)

    由

    取z=1  得n=(0,,1),

    点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值.

∵=(0,a,a),设所求距离为d,

    则d=|||·cos〈,n〉|=|||·|=.

    所以，A到平面VBC的距离为a.

(Ⅲ)设平面VAB的一个法向量m=(x₁,y₁,z₁),

    由

    取z₁=1  m=(2,-,1),

∴cos〈m,n〉==-.

∵二面角A—VB—C为锐角，

    所以，二面角A—VB—C的大小为arccos.