Question

已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α、β.

求证：(1)如果|α|＜2,|β|＜2,那么2|a|＜4+b且|b|＜4;

(2)如果2|a|＜4+b且|b|＜4,那么|α|＜2,|β|＜2.

Answer 1

思路解析：结合二次方程根的分布及绝对值的意义来求解.

证法一:设二次方程有两个实数α,β,则判别式Δ=a²-4b≥0.

不妨取α=(-a-),β=(-a+).

(1)∵|α|＜2,|β|＜2,∴|b|=|αβ|=|α|·|β|＜4,

且-2＜（-a-）,（-a+）＜2,即0≤＜4-a,0＜≤4+a.

平方得a²-4b＜16-8a+a²,a²-4b＜16+8a+a²,

由此得-4(4+b)＜8a＜4(a+b),∴2|a|＜4+b.

(2)由2|a|＜4+b,得4+2a+b＞0,即2²+2a+b＞0f(2)＞0,①

即4-2a+b＞0,即(-2)²+(-2)a+b＞0f(-2)＞0.②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间（-2，2）之内或者在（-2，2）之外，若两根α、β均落在（-2，2）之外，则与|b|=|αβ|＜4矛盾.

若α(或β)落在（－2,2）外，则由于|b|=|αβ|＜4,另一个根β(或α）必须落在（－2，2）内，则与①、②式矛盾.

故|α|＜2,|β|＜2.

证法二：(1)由|α|＜2,|β|＜2，得α、β∈（－2,2）.

令f(x)=x²+ax+b,则

2|a|＜b+4且|b|＜4.

(2)条件可概括为

由（2）（3）,得|a|＜4-2＜-＜2,                            （4）

由（3）,得-（b+4）＜2a＜b+4,

令f(x)=x²+ax+b,则f(-2)=4-2a+b＞0,f(2)=4+2a+b＞0,

∴α、β∈（-2，2），故|α|＜2且|β|＜2.

深化升华

    把绝对值的意义，转化为根的分布是解题的关键，结合函数在区间端点的值进行比较.