Question

如图，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F、F，A是椭圆C上的一点，AF⊥FF，O是坐标原点，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命题“设圆x+y=t上任意点M（x，y）处的切线交椭圆C于Q、Q两点，那么OQ⊥OQ”成立.

Answer 1

（1）椭圆C的离心率为. （2）t=b∈（0，b）使得所述命题成

解析试题分析：解：（Ⅰ）解法一：由题设AF⊥FF及F（－c，0），F（c，0），不妨设点A（c，y），其中y>0，由于点A在椭圆上，有+=1，
+=1，解得y=，从而得到A.              1分
直线AF的方程为y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分
由题设，原点O到直线AF的距离为|OF|，即=，   3分
将c=a－b代入原式并化简得a=2b，即a=b.
∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分
解法二：点A的坐标为.                               1分
过点O作OB⊥AF，垂足为B，易知△FBC∽△FFA，
故=.                                           2分
由椭圆定义得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以=.                                   3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    
∴e==.即椭圆C的离心率为.                 4分
（Ⅱ）圆x+y=t上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t. 5分
当t∈（0，b）时，圆x+y=t