Question

【题目】已知函数，有下列四个结论：

①为偶函数；②的值域为；

③在上单调递减；④在上恰有8个零点，

其中所有正确结论的序号为（ ）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由偶函数的定义可判断①正确，借助二倍角公式将函数化简为利用二次函数性质计算可得②错误，利用复合函数的单调性可判断在上单调递减，且，则在上单调递增，根据偶函数性质可得出③正确，利用函数与方程的思想解方程即可判断④错误.

由，故为偶函数，①正确；，

记，则，

当时，取得最大值2，当时，取9得最小值，

即的值域为，所以的值域为，②错误；

在上的单调性与它在上的单调性刚好相反，

当时，单调递增，且，而在时单调递减，

故在上单调递减，又此时，故函数在上单调递增，于是得在单调递减，③正确；

令，得或，而当时，及恰有3个不等的实根，，，

即在区间上恰有3个零点，结合奇偶性可知，即在区间上恰有6个零点，④错误.

故正确的是①③.

故选:A.