Question

函数f(x)=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

的最大值和最小值分别为M，m，则M+m=

2

．

Answer 1

分析：先利用两角和的正弦公式化简已知函数解析式，将其分解为常数1加一个奇函数，再利用奇函数的对称性即可得f（x）最大值与最小值的和

解答：解：∵

2

sin（x+

π

4

）=

2

[

2

2

sinx+

2

2

cosx]=sinx+cosx
∴f(x)=

2 sin(x+ π 4 )+2x2+x

2x2+cosx

=

2x2+x+sinx+cosx

2x2+cosx

=1+

x+sinx

2x2+cosx

设g（x）=

x+sinx

2x2+cosx

，
∵g（-x）=

-x-sinx

2x2+cosx

=-g（x）
∴g（x）为奇函数，
∴函数g（x）的最大值与最小值之和为0，
∴函数f（x）的最大值和最小值之和M+m=1+1+0=2
故答案为 2

点评：本题考查了奇函数的定义及其判断方法，奇函数图象的对称性及其应用，三角变换公式的运用，将已知函数分解出一个奇函数是解决问题的关键