题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0， $数学公式$ ）的图象如图所示．
（1）求A，ω及?的值；
（2）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）由图知函数的最大值为2，所以A=2，…（2分）
∵函数周期T=2（ $\text{[math]}$ ）=π，…（3分）
∴ $\text{[math]}$ =2，解之得，…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+φ）
又∵ $\text{[math]}$ =2sin（ $\text{[math]}$ +φ）=2，∴sin（ $\text{[math]}$ +φ）=1，…（5分）
∴ $\text{[math]}$ +φ= $\text{[math]}$ ，φ= $\text{[math]}$ +2kπ，（k∈Z）
∵ $\text{[math]}$ ，∴φ= $\text{[math]}$ …（7分）
（2）由（1）知：f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ） …（9分）
∴ $\text{[math]}$ =2sin（2α+ $\text{[math]}$ ）=2cos2α …（10分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴2cos2α=4cos²α-2= $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根据函数的最大值，得A=2，由函数的周期得ω=2，再由 $\text{[math]}$ =2得sin（ $\text{[math]}$ +φ）=1，结合 $\text{[math]}$ 得ω= $\text{[math]}$ ；
（2）结合（1）的结论，得到函数的表达式为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），从而 $\text{[math]}$ =2cos2α，再用二倍角的余弦公式，可算出 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的恒等变换及化简求值等知识，属于基础题．