题目内容

已知向量
a
=（cosθ，sinθ）（θ∈R），
b
=（-
3
，-1），求|
a
-2
b
|的最值及取得最值时θ的取值集合．
分析：根据向量的数量积运算即
a
2=|
a
|2，由题意和向量数量积以及模的坐标运算求出|
a
-2
b
|的平方，利用两角和的正弦公式进行化简，再由正弦函数的最值求出所求向量模的最值，注意利用整体思想求出对应的角θ的集合．
解答：解：∵
a
=（cosθ，sinθ），
b
=（-
3
，-1），
∴|
a
-2
b
||
a
-2
b
|=（
a
-2
b
）2=
a
2-4
a
•
b
+4
b
2（4分）
=1-4×(-
3
cosθ-sinθ)+4×4=17+8(sinθ•
1
2
+cosθ•
3
2
)
=17+8sin(θ+
π
3
)（7分）
当sin(θ+
π
3
)=1，即θ=2kπ+
π
6
， k∈Z时，|
a
-2
b
|有最大值为
25
=5（11分）
当sin(θ+
π
3
)=-1，即θ=2kπ-
5π
6
， k∈Z时，|
a
-2
b
|有最小值为
9
=3（15分）
点评：本题考查了利用向量的数量积来求向量的模，即
a
2=|
a
|2的应用，根据向量数量积的坐标运算把已知条件代入，利用两角和的正弦公式进行化简，利用整体思想求出最值，考查了整体思想．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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