题目内容

对于数列A：a₁，a₂，a₃(a_i∈N，i＝1，2，3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i＝|a_i－a_i+1|(i＝1，2)，且b₃＝|a₃－a₁|．这种“T变换”记作B＝T(A)．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c₁，c₂，c₃，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

(Ⅰ)试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

(Ⅱ)设A：a₁，a₂，a₃，B＝T(A)．若B：b，2，a(a≥b)，且B的各项之和为2012．

(ⅰ)求a，b；

(ⅱ)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．

　　以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．3分

　　(Ⅱ)解：(ⅰ)因为的各项之和为，且，所以为的最大项，

　　所以最大，即，或．5分

　　当时，可得

　　由，得，即，故；7分

　　当时，同理可得，；8分

　　(ⅱ)方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．

　　由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．

　　因为，

　　所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．

　　接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，……

　　从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

　　所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为；13分

　　方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”．

　　若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序)．

　　所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．

　　因此，数列经过次“变换”一定得到各项为(不考虑顺序)的数列．

　　通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．

　　所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为；13分

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（ⅰ）求a，b；
（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．

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