Question

（1）设函数，求的最小值；

   （2）设正数满足，

        求证

Answer 1

（Ⅰ）解：对函数求导数：

   于是

当在区间是减函数，

当在区间是增函数.

所以时取得最小值，，

（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.

（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.

（ii）假定当时命题成立，即若正数，

则

当时，若正数

令

则为正数，且

由归纳假定知

    ①

同理，由可得

    ②

综合①、②两式

即当时命题也成立.

根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.