Question

3．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-2$\sqrt{5}$，0），且过点D（6，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知点A（4，2），且P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由左焦点为F（-2$\sqrt{5}$，0），过点为D（6，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）求出椭圆的参数方程，α为参数，得到P的坐标，设线段PA的中点为M（x，y），由点A、P、M的关系，求出线段PA中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，
它的中心在原点，左焦点为F（-2$\sqrt{5}$，0），且过点D（6，0）．
∴椭圆的半长轴a=6，半焦距c=2$\sqrt{5}$，则半短轴b=4．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$的参数方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=6cosα}\\{y=4sinα}\end{array}\right.$，α为参数．
∴P（6cosα，4sinα），
设线段PA的中点为M（x，y），
∵A（4，2），P（6cosα，4sinα），
∴x=$\frac{4+6cosα}{2}$，y=$\frac{2+4sinα}{2}$，
∴cosα=$\frac{1}{3}$（x-2），
sinα=$\frac{1}{2}$（y-1），
∴$\frac{（{x-2）}^{2}}{9}$+$\frac{（y-1）^{2}}{4}$=1．
∴线段PA中点M的轨迹方程是：$\frac{（{x-2）}^{2}}{9}$+$\frac{（y-1）^{2}}{4}$=1．

点评 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．