Question

一个口袋中装有大小相同的个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖。
（Ⅰ）试用表示一次摸奖中奖的概率；
（Ⅱ）记从口袋中三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，求的最大值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，将个白球全部取出后，对剩下的个红球全部作如下标记：记上号的有个（），其余的红球记上号，现从袋中任取一球。表示所取球的标号，求的分布列、期望和方差.

Answer 1

（1）；（2）n=20时，m的最大值为4/9；
（3），.

第一问中，利用一次摸奖从n+5个球中任取两个，有种方法。它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，故一次摸奖中奖的概率为．
第二问中，
设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：
利用导数的思想求解最值。
第三问中，由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故的可能取值为0，1,2,3,4求解各个概率值，然后求解期望和方差即可。
解:（Ⅰ）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有种方法。
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，
一次摸奖中奖的概率为．       ………5分
（Ⅱ）设每次摸奖中奖的概率为，三次摸奖中恰有一次中奖的概率是：
      ………  6分
m对p的导数
因而m在上为增函数，m在上为减函数。    ………8分
∴当p=1/3，即，n=20时，m的最大值为4/9．    ………  10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的．故的分布列是：

p

…12分
．       ………14分
．……..15分