题目内容
已知函数
，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：D
．
【答案】分析：（1）根据题意，由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）=2x-a+
≥0在（0，1）上恒成立，进而转化为2x+
≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+
，通过对t求导判断单调性，可得t的最小值为1，由不等关系可得答案．
（2）由（1）的结论，分析可得f（x）＞f（0），化简可得ln（x+1）＞x-x2，令x=
，（n≥2），可得ln（
+1）＞
-
，变形可得ln
＞
，所以
=
+
+…+
＜ln
+ln
+…+ln
，由对数的运算性质，化简可得证明．
解答：解：（1）根据题意，函数
在（0，1）上单调递增，
则f′（x）=2x-a+
≥0在（0，1）上恒成立；
即2x+
≥a在（0，1）上恒成立，
令t=2x+
，则t′=1+（
）′=1-
，
又由x∈（0，1），则t′＞0，
则t在（0，1）是增函数，
故有2x+
＞1，
所以求得a≤1，
（2）证明：由（1）可得，当a=1时，f（x）在（0，1）上递增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x2，
令x=
，（n≥2）则
∈（0，
]⊆（0，1），
所以有ln（
+1）＞
-
，变形可得ln
＞
，
所以
=
+
+…+
＜ln
+ln
+…+ln
=ln
；
即原不等式得证．
点评：本题考查不等式的证明与利用导数求函数的最值；（1）中注意x的范围是（0，1），因（x+1）的范围，不能将2x+
转化为2（x+1）+
-2后，直接用基本不等式求其最小值．
≥0在（0，1）上恒成立，进而转化为2x+
≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+
，通过对t求导判断单调性，可得t的最小值为1，由不等关系可得答案．（2）由（1）的结论，分析可得f（x）＞f（0），化简可得ln（x+1）＞x-x2，令x=
，（n≥2），可得ln（
+1）＞
-
，变形可得ln
＞
，所以
=
+
+…+
＜ln
+ln
+…+ln
，由对数的运算性质，化简可得证明．解答：解：（1）根据题意，函数
在（0，1）上单调递增，则f′（x）=2x-a+
≥0在（0，1）上恒成立；即2x+
≥a在（0，1）上恒成立，令t=2x+
，则t′=1+（
）′=1-
，又由x∈（0，1），则t′＞0，
则t在（0，1）是增函数，
故有2x+
＞1，所以求得a≤1，
（2）证明：由（1）可得，当a=1时，f（x）在（0，1）上递增，
所以f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x2，
令x=
，（n≥2）则
∈（0，
]⊆（0，1），所以有ln（
+1）＞
-
，变形可得ln
＞
，所以
=
+
+…+
＜ln
+ln
+…+ln
=ln
；即原不等式得证．
点评：本题考查不等式的证明与利用导数求函数的最值；（1）中注意x的范围是（0，1），因（x+1）的范围，不能将2x+
转化为2（x+1）+
-2后，直接用基本不等式求其最小值． 
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