题目内容
9．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．分析 先确定双曲线的渐近线斜率2＜$\frac{b}{a}$＜3，再根据$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，即可求得双曲线离心率的取值范围．
解答 解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜$\frac{b}{a}$＜3，
∵$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{5}$＜e＜$\sqrt{10}$，
∴双曲线离心率的取值范围为（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
故答案为：（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
点评 本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，属于中档题
练习册系列答案
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4．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{2}$+1 | B． | $\sqrt{3}$+1 | C． | $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2$\sqrt{6}$，PO=8．则BD的长为2$\sqrt{6}$．