Question

已知椭圆.,分别为椭圆的左,右焦点,, 分别为椭圆的左,右顶点.过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 直线与椭圆交于,两点, 直线与交于点.当直线变化时, 点是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由.

Answer 1

(1), . 点在椭圆上,
,    
  或(舍去). .
椭圆的方程为.                          ………4分
(2)当轴时,,, 又,
, , 联立解得.
当过椭圆的上顶点时, ,,
, ,联立解得.    
若定直线存在,则方程应是.                           ………8分 
下面给予证明.
把代入椭圆方程,整理得,
成立, 记, ,则, .
,
当时,纵坐标应相等, , 须
须, 须
而成立.
综上,定直线方程为 

(1)根据条件易求c,然后根据点M在椭圆上建立方程即可求解。
（2）本题是探索性问题，应先假设存在，然后要对直线出现的各种情况讨论，分类解决。