Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直线与圆相切时对应的圆心到直线的距离等于半径即可求双曲线G的渐近线的方程；
（2）利用渐近线设出双曲线G的方程，把直线l的方程与双曲线G的方程联立求出A，B两点的坐标之间的关系式，再利用|PA|•|PB|=|PC|²．即可求出双曲线G的方程；
（3）利用条件先设椭圆S的方程+=1（a＞2），再设垂直于l的平行弦的两端点以及中点的坐标，把两端点坐标代入椭圆S的方程方程，用点差法求出中点所在轨迹，再与题中条件相结合即可求椭圆S的方程．
解答：解：（1）设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
则由渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切可得=，
所以k=±，即双曲线G的渐近线的方程为y=±x．（3分）
（2）由（1）可设双曲线G的方程为x²-4y²=m，
把直线l的方程y=（x+4）代入双曲线方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
则x_A+x_B=，x_Ax_B=-．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共线且P在线段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．
将（*）代入上式得m=28，
∴双曲线的方程为-=1．（8分）
（3）由题可设椭圆S的方程为+=1（a＞2），
设垂直于l的平行弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x，y），
则+=1，+=1，
两式作差得+=0．
由于=-4，x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
所以-=0，
所以，垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线-=0截在椭圆S内的部分．
又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以=，即a²=56，
故椭圆S的方程为+=1．（13分）
点评：本题涉及到双曲线标准方程的求法问题．因为双曲线的标准方程有两种形式，所以在设方程之前一定要先看焦点所在位置．