(2007•闸北区一模)已知函数f(x)=ax+b.当x∈[a1.b1]时f(x)的值域为[a2.b2].当x∈[a2.b2]时f(x)的值域为[a3.b3].-依此类推.一般地.当x∈[an-1.bn-1]时f(x)的值域为[an.bn].其中a.b为常数且a1=0.b1=1(1)若a=1.求数列{an}.{bn}的通项公式．(2)若a＞0且a≠1.要使数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2007•闸北区一模）已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时f（x）的值域为[a₃，b₃]，…依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a、b为常数且a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）的值．

分析：（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，由题意知，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，从而可判断{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．根据等差、等比数列的通项公式及a₁=0，b₁=1可得两数列的通项公式；
（2）易知f（x）=ax+b在R上也是增函数，由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b（n≥2），可变形为：

bn-1

=a+

bn-1

，若有{b_n}是公比不为1的等比数列，则

bn-1

是常数，由此可得b值；
（3）易知f（x）=ax+b在R上是减函数，由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，则b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），易知，{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
可得b_n-a_n，从而可求T_n-S_n，则可求得，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）的值；

解答：解：（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，
由已知，当n≥2时，x∈[a_n-1，b_n-1]，f（x）的值域是[a_n，b_n]，
∴a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，
∴{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．
∵a₁=0，b₁=1，
∴a_n=（n-1）b，b_n=（n-1）b+1；
（2）∵a＞0，a≠1，
∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，
由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，即b_n=ab_n-1+b（n≥2），
∴

bn-1

=a+

bn-1

，
若{b_n}是公比不为1的等比数列，则

bn-1

是常数，所以b=0；
（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，
由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，
∴b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），
∴{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
∴b_n-a_n=（-a）^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，a=-1

1-(-a)n

1+a

，a≠-1